Question

1．已知函數(shù)f（x）=ax+$\frac{a-1}{x}$-lnx．
（1）若a＞$\frac{1}{2}$，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若方程f（x）=ax有兩個(gè)相異實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，注意對(duì)a分類討論；
（2）由f（x）=ax得a=xlnx+1，令g（x）=xlnx+1，利用導(dǎo)數(shù)求得g（x）的最值，即可求出a的范圍．

解答 解：（1）$f（x）=ax+\frac{a-1}{x}-lnx$定義域?yàn)椋?，+∞），
求導(dǎo)得f′（x）=a-$\frac{a-1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-x-（a+1）}{{x}^{2}}$=$\frac{（ax+a-1）（x-1）}{{x}^{2}}$
令f′（x）=0得x=1或x=$\frac{1}{a}$-1，
當(dāng)a≥1時(shí)，x=$\frac{1}{a}$-1≤0，令f′（x）＞0得x＞1，于是函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
令f′（x）＜0得0＜x＜1，于是函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減；
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a＜1時(shí)，x=$\frac{1}{a}$-1∈（0，1），
令f′（x）＞0得0＜x＜$\frac{1}{a}$-1或x＞1，于是函數(shù)在（0，$\frac{1}{a}$-1）和（1，+∞）上單調(diào)遞增；
令f′（x）＜0得$\frac{1}{a}$-1＜x＜1，于是函數(shù)在（$\frac{1}{a}$-1，1）上單調(diào)遞減；
（2）若f（x）=ax，
即$\frac{a-1}{x}$-lnx=0，
即a=xlnx+1，
令g（x）=xlnx+1，定義域?yàn)椋?，+∞），
∴g′（x）=1+lnx，
令g′（x）=0，解得x=$\frac{1}{e}$，
令g′（x）＞0得x＞$\frac{1}{e}$，于是函數(shù)（$\frac{1}{e}$，+∞）上單調(diào)遞增；
令g′（x）＜0得0＜x＜$\frac{1}{e}$，于是函數(shù)在（0，$\frac{1}{e}$）上單調(diào)遞減；
∴g（x）_min=g（e）=1-$\frac{1}{e}$，
又x→0時(shí)，f（x）→1，
∵方程f（x）=ax有兩個(gè)相異實(shí)根，
∴y=g（x）與y=a有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴a的取值范圍為（1-$\frac{1}{e}$，1）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求極值問題，考查轉(zhuǎn)化劃歸思想及分類討論思想的運(yùn)用能力，屬中檔題．