Question

11．現(xiàn)有一倒放圓錐形容器，該容器深24m，底面直徑為6m，水以5πm³/s的速度流入，則當水流入時間為1s時，水面上升的速度為$\frac{4\root{3}{15}}{3}$．

Answer 1

分析 由平行線分線段成比例得出水面的半徑與水高的關系，由圓錐的體積公式求出水深與時間的函數(shù)關系，對水深求導即為水面上升的速度．

解答 解：設容器中水的體積在t分鐘時為V，水深為h，則V=5πt，
由圖知$\frac{r}{h}$=$\frac{3}{24}$=$\frac{1}{8}$
∴r=$\frac{1}{8}$h
∴V=$\frac{1}{3}$πr²h=$\frac{1}{192}$πh³，
∴5πt=$\frac{1}{192}$πh³，
∴h=4•$\root{3}{15}$•$\root{3}{t}$
∴v=h′（t）=4•$\frac{1}{3}$$\root{3}{15}$•${t}^{-\frac{2}{3}}$
∴v=$\frac{4\root{3}{15}}{3}$，
故答案為：$\frac{4\root{3}{15}}{3}$

點評 本題考查了圓錐的體積公式以及平行線分線段成比例定理和對水深求導即為水上升的速度等問題，是易錯題．