Question

16．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+2x+c（a≠0），函數(shù)f（x）對(duì)于任意的都滿足條件f（1+x）=f（1-x）．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，2），求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）對(duì)于任意的都滿足條件f（1+x）=f（1-x），得到函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為x=1，即可求出a的值，再根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，2），求出c的值，問題得以解決．
（2）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）對(duì)于任意的都滿足條件f（1+x）=f（1-x），
∴函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為x=1，
∴-$\frac{1}{a}$=1，
解得a=-1，
∵函數(shù)f（x）的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，2），
∴c=2，
∴f（x）=-x²+2x+2，
（2）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上有零點(diǎn)，
∴f（0）f（1）＜0，
∴c（-1+2+c）＜0，
解得-1＜c＜0

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)解析式的求法和一元二次函數(shù)的零點(diǎn)的問題，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)，以及函數(shù)和方程之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．