Question

14．如圖，四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=SD=1，側面SAB為等邊三角形．
（1）證明：AB⊥SD；
（2）求二面角A-SB-C的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中點E，連結DE，推導出BE⊥DE，AB⊥SE，由此能證明AB⊥SD．
（2）分別以DE，DC＜DF所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-SB-C的正弦值．

解答 證明：（1）取AB的中點E，連結DE，則四邊形BCDE為矩形，∴BE⊥DE，
∵△SAB為等邊三角形，∴AB⊥SE，
∵SE∩DE=E，
∴AB⊥平面SED，SD?平面SED，
∴AB⊥SD．
解：（2）由（1）知DE⊥DC，過D作DF⊥平面ABCD，則DE，DC，DF兩兩垂直，
分別以DE，DC＜DF所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
則D（0，0，0），A（2，-1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），
∵SD=1，DE=2，SE=$\sqrt{3}$，
∴SD⊥SE，∴SD⊥平面SAB，
∴S（$\frac{1}{2}，0，\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{DS}$=（$\frac{1}{2}，0，\frac{\sqrt{3}}{2}$），
設平面SBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{SC}$=（-$\frac{1}{2}$，1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（-2，0，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SC}=-2x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-\frac{1}{2}x+y-\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），
設二面角A-SB-C的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{DS}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{DS}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{21}}{7}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
∴二面角A-SB-C的正弦值為$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．