Question

9．已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（-1，1），若點(diǎn)M（x，y）為平面區(qū)域$\left\{{\begin{array}{l}{x+y≥2}\\{{2^{x-1}}≤1}\\{{{log}_2}（y-1）≤0}\end{array}}\right.$上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{OM}$的取值范圍是[-2，0）．

Answer 1

分析 根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性便可將已知的不等式組變成$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥2}\\{x≤1}\\{1＜y≤2}\end{array}\right.$①，可求出$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{OM}=x-y$，并設(shè)z=x-y，從而y=x-z，-z便表示直線y=x-z在y軸上的截距，可畫出不等式組①所表示的平面區(qū)域，這樣由線性規(guī)劃的知識(shí)即可求出z的范圍，即得出$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{OM}$的取值范圍．

解答 解：解2^x-1≤1得，x≤1，解log₂（y-1）≤0得，1＜y≤2；
∴點(diǎn)M（x，y）所在平面區(qū)域?yàn)?\left\{\begin{array}{l}{x+y≥2}\\{x≤1}\\{1＜y≤2}\end{array}\right.$①；
$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{OM}=（1，-1）•（x，y）=x-y$；
設(shè)z=x-y，即y=x-z，-z表示直線y=x-z在y軸上的截距，作出不等式組①所表示的平面區(qū)域如下圖陰影部分所示：
由線性規(guī)劃的知識(shí)得，0＜-z≤2；
∴-2≤z＜0；
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{OM}$的取值范圍為[-2，0）．
故答案為：[-2，0）．

點(diǎn)評(píng) 考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，以及根據(jù)線性規(guī)劃的知識(shí)求變量范圍的方法，能找出不等式組所表示的平面區(qū)域．