Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，拋物線的動(dòng)弦過點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于弦的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn).

（Ⅰ）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）求的最小值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)2

【解析】

（Ⅰ）由橢圓求得右焦點(diǎn)，根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)求出p的值，再寫出拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）①當(dāng)動(dòng)弦AB所在的直線斜率不存在時(shí)，求得2；②當(dāng)動(dòng)弦AB所在的直線斜率存在時(shí)，寫出AB所在直線方程，與拋物線方程聯(lián)立求出弦長(zhǎng)|AB|；寫出FM所在的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立求出弦長(zhǎng)|MF|，再求的最小值，從而得出結(jié)論．

（Ⅰ）由橢圓方程得，橢圓的右焦點(diǎn)為

∴拋物線的焦點(diǎn)為，∴，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）①當(dāng)動(dòng)弦所在直線的斜率不存在時(shí)，易得：

，，.

②當(dāng)動(dòng)弦所在的直線斜率存在時(shí)，易知，的斜率不為0.

設(shè)所在直線方程為，且，.

聯(lián)立方程組：，得；

，，，

所在的直線方程為，聯(lián)立方程組：，得點(diǎn)，

∴

∴，

綜上所述：的最小值為2.