Question

12．若函數(shù)f（x）=x³-12x在區(qū)間（k-1，k+1）上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍（　　）

• A． k≤-3或-1≤k≤1或k≥3
• B． 不存在這樣的實(shí)數(shù)k
• C． -2＜k＜2
• D． -3＜k＜-1或1＜k＜3

Answer 1

分析 由題意得，區(qū)間（k-1，k+1）內(nèi)必須含有導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)2或-2，即k-1＜2＜k+1或k-1＜-2＜k+1，解之即可求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：由題意可得f′（x）=3x²-12 在區(qū)間（k-1，k+1）上至少有一個(gè)零點(diǎn)，
而f′（x）=3x²-12的零點(diǎn)為±2，區(qū)間（k-1，k+1）的長(zhǎng)度為2，
故區(qū)間（k-1，k+1）內(nèi)必須含有2或-2．
∴k-1＜2＜k+1或k-1＜-2＜k+1，
∴1＜k＜3 或-3＜k＜-1，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，把函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．