Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²-x+c
（1）求f（x）在[0，1]的最大值和最小值；
（2）求證：對任意x₁，x₂∈[0，1]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤$\frac{1}{4}$；
（3）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，2]上有2個零點，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知可得函數(shù)f（x）=x²-x+c的圖象的對稱軸為x=$\frac{1}{2}$，分析函數(shù)單調(diào)性，進而可得f（x）在[0，1]的最大值和最小值；
（2）由（1）可得|f（x₁）-f（x₂）|≤c-（c-$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{4}$；
（3）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，2]上有2個零點，即圖象與x軸有兩個交點，則$\left\{\begin{array}{l}△＞0\\ f（0）≥0\\ f（2）≥0\end{array}\right.$，進而求出實數(shù)c的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²-x+c的圖象的對稱軸為x=$\frac{1}{2}$…..（1分）
f（x）在[0，$\frac{1}{2}$]上是減函數(shù)，在[$\frac{1}{2}$，1]上是增函數(shù)…（2分）
∴當x=0，或x=1時，函數(shù)取最大值c；…（4分）
當x=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)取最小值c-$\frac{1}{4}$…．（6分）
（2）對任意設0≤x₁＜x₂≤1，
總有c-$\frac{1}{4}$≤f（x₁）≤c，c-$\frac{1}{4}$≤f（x₂）≤c，
|f（x₁）-f（x₂）|≤c-（c-$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{4}$，
即|f（x₁）-f（x₂）|≤$\frac{1}{4}$…．（10分）
（3）∵函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，2]上有2個零點，
即圖象與x軸有兩個交點，
則$\left\{\begin{array}{l}△＞0\\ f（0）≥0\\ f（2）≥0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}1-4c＞0\\ c≥0\\ 2+c≥0\end{array}\right.$，
解得：0≤c＜$\frac{1}{4}$…．（14分）

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的零點，函數(shù)的最值，難度中檔．