Question

2．已知實(shí)數(shù)x，y滿足x＞y＞0且x+y=1，則$\frac{2}{x+3y}+\frac{1}{x-y}$的最小值是$\frac{{3+2\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 x＞y＞0且x+y=1，可得$1＞x＞\frac{1}{2}＞y＞0$．于是$\frac{2}{x+3y}+\frac{1}{x-y}$=$\frac{2}{1+2（1-x）}$+$\frac{1}{x-（1-x）}$=$\frac{2}{3-2x}$+$\frac{1}{2x-1}$=f（x），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，即可得出．

解答 解：∵x＞y＞0且x+y=1，∴$1＞x＞\frac{1}{2}＞y＞0$．
則$\frac{2}{x+3y}+\frac{1}{x-y}$=$\frac{2}{1+2（1-x）}$+$\frac{1}{x-（1-x）}$=$\frac{2}{3-2x}$+$\frac{1}{2x-1}$=f（x），
f′（x）=$\frac{4}{（3-2x）^{2}}$-$\frac{2}{（2x-1）^{2}}$=$\frac{8{x}^{2}+8x-14}{（3-2x）^{2}（2x-1）^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得$\frac{2\sqrt{2}-1}{2}$＜x＜1，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；令f′（x）＜0，解得$\frac{1}{2}＜x＜$$\frac{2\sqrt{2}-1}{2}$，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=$\frac{2\sqrt{2}-1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，$f（\frac{2\sqrt{2}-1}{2}）$=$\frac{{3+2\sqrt{2}}}{2}$．
故答案為：$\frac{{3+2\sqrt{2}}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了不等式的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．