Question

1．已知A（-1，2）為拋物線C：y=2x²上的點，直線l₁過點A，且與拋物線C相切．直線l₂：x=a（a≠-1）交拋物線C于點B，交直線l₁于點D．設△ABD的面積為S₁．
（1）求直線l₁的方程及S₁的值；
（2）設由拋物線C，直線l₁，l₂所圍成的圖形的面積為S₂，求S₁：S₂的值．

Answer 1

分析 （1）先由y=2x²，得y′=4x．當x=-1時，y'=-4．由此能求出l₁的方程．由y=2x²及x=a，解得點B的坐標為（a，2a²）．由4x+y+2=0及x=a，解得點D的坐標為（a，-4a-2）．點A到直線BD的距離為|a+1|．由此能求出S₁的值．（2）當a＞-1時，S₁=（a+1）³，利用積分求出S₂，知S₁：S₂的值為與a無關的常數(shù)．

解答 解：（1）由y=2x²，得y'=4x．當x=-1時，y'=-4．
∴l(xiāng)₁的方程為y-2=-4（x+1），即4x+y+2=0．
由y=2x²及x=a，解得點B的坐標為（a，2a²）．
由4x+y+2=0及x=a，解得點D的坐標為（a，-4a-2）．
又可求得點A到直線BD的距離為|a+1|，|BD|=2a²+4a+2=2（a+1）²．
∴S₁=|a+1|³．…..（6分）
（2）由題意，當a＞-1時，S₁=（a+1）³，
${S_2}=\int_{-1}^a{（2{x^2}+4x+2）dx=（\frac{2}{3}{x^3}+2{x^2}+2x）\left|{_{-1}^a}\right.}$
=$\frac{2}{3}{a^3}+2{a^2}+2a+\frac{2}{3}-2+2=\frac{2}{3}{（a+1）^3}$，
當a＜-1時，${S_2}=\int_a^{-1}{（2{x^2}+4x+2）dx}$=$-\frac{2}{3}{（a+1）^3}$，
∴S₁：S₂=3：2．…..（12分）

點評 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要注意雙曲線的性質、導數(shù)、定積分的靈活運用，合理地進行等價轉化．