Question

6．已知函數f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}a{x^2}$-bx，設h（x）=f（x）-g（x）．
（1）求函數F（x）=f（x）-x的極值；
（2）若g（2）=2，若a＜0，討論函數h（x）的單調性；
（3）若函數g（x）是關于x的一次函數，且函數h（x）有兩個不同的零點x₁，x₂，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出F（x）的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的極值即可；
（2）求出h（x）的導數，通過討論a的范圍，解關于導函數的不等式，求出函數h（x）的單調區(qū)間即可；
（3）求出h（x）的表達式，求出h（x）的導數，求出h（x）的單調性得到h（x）的最大值，從而求出b的范圍即可．

解答 解：（1）∵F'（x）=$\frac{1}{x}$-1，令F'（x）=0，即x=1，
令F′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令F′（x）＜0，解得：x＞1，
∴F（x）在（0，1）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴F（x）_極大值=F（1）=-1；
（2）h（x）=f（x）-g（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+bx，其定義域為（0，+x）
.$h′（x）=\frac{1}{x}-ax+（a-1）=\frac{{-a{x^2}+（a-1）x+1}}{x}=\frac{-（ax-1）（x+1）}{x}$，
又a＜0，令h′（x）=0，得${x_1}=-\frac{1}{a}，{x_2}=1$．
1°..當a＜-1時，則$0＜-\frac{1}{a}＜1$，
所以函數h（x）在區(qū)間（ 0，$-\frac{1}{a}$）和（1，+∞）上單調遞增；
在區(qū)間（$-\frac{1}{a}$，1）上單調遞減．
2°．當a=-1時，h′（x）＞0，數h（x）在區(qū)間（0，+∞）單調遞增
3°．當-1＜a＜0時，則$-\frac{1}{a}＞1$，
所以函數h（x）在區(qū)間（0，1）和（$-\frac{1}{a}$，+∞）上單調遞增；
在區(qū)間（1，$-\frac{1}{a}$）上單調遞減．                                       
（3）∵函數g（x）是關于x的一次函數，故a=0，
∴h（x）=lnx+bx，其定義域為（0，+∞），
∵h（x） 有兩個不同的零點x₁，x₂，∴b＜0，
h′（x）=$\frac{1+bx}{x}$，令h′（x）＞0，解得：0＜x＜-$\frac{1}$，
令h′（x）＜0，解得：x＞-$\frac{1}$，
∴h（x）在（0，-$\frac{1}$）遞增，在（-$\frac{1}$，+∞）遞減，
∴x=-$\frac{1}$是極大值點，
∴h（-$\frac{1}$）是最大值，
∴h（-$\frac{1}$）＞0，
∴b的取值范圍是（$-\frac{1}{e}$，0）．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道綜合題．