Question

19．設F₁、F₂是橢圓x²+$\frac{y^2}{b^2}$=1（0＜b＜1）的左、右焦點，過F₁的直線l交橢圓于A，B兩點，若|AF₁|=3|F₁B|，且AF₂⊥x軸，則b²=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 把x=c代入橢圓方程可得：${c}^{2}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，不妨取A（c，b²），可得直線l的方程為：y=$\frac{^{2}}{2c}$（x+c），與橢圓方程聯(lián)立化為：（4c²+b²）x²+2cb²x+b²c²-4c²=0，利用根與系數(shù)的關系可得x_B．由|AF₁|=3|F₁B|，可得2c=3（-c-x_B），代入基礎即可得出．

解答 解：把x=c代入橢圓方程可得：${c}^{2}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，解得y=±b²，不妨取A（c，b²），b²=1-c²．
可得直線l的方程為：y=$\frac{^{2}}{2c}$（x+c），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{^{2}}{2c}（x+c）}\\{^{2}{x}^{2}+{y}^{2}=^{2}}\end{array}\right.$，化為：（4c²+b²）x²+2cb²x+b²c²-4c²=0，
∴cx_B=$\frac{^{2}{c}^{2}-4{c}^{2}}{4{c}^{2}+^{2}}$，解得x_B=$\frac{^{2}c-4c}{4{c}^{2}+^{2}}$=$\frac{-{c}^{3}-3c}{3{c}^{2}+1}$．
∵|AF₁|=3|F₁B|，∴2c=3（-c-x_B），∴5c+3×$\frac{-{c}^{3}-3c}{3{c}^{2}+1}$=0，化為：c²=$\frac{1}{3}$．
∴b²=1-c²=$\frac{2}{3}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．