Question

9．已知函數(shù)f（x）=log_a（x+2）+log_a（4-x），（0＜a＜1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]的最小值為-2，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）只要使x+2＞0，4-x＞0同時成立即可；
（Ⅱ）先把f（x）化為f（x）=log_a（x+2）（4-x）（x∈[0，3]），再由二次函數(shù)性質及對數(shù)函數(shù)的單調性可求出f（x）的最小值，根據(jù)最小值為-2，列方程解出即可．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x+2＞0\\ 4-x＞0\end{array}\right.$得-2＜x＜4∴f（x）的定義域為（-2，4）；
（Ⅱ）f（x）=log_a（x+2）（4-x）（x∈[0，3]）
令t=（x+2）（4-x）=-（x-1）²+9
當0≤x≤3，
∴5≤t≤9．
當0＜a＜1則log_a9≤log_at≤log_a5，
∴f（x）_min=log_a9=-2${a^2}=\frac{1}{9}$．
又0＜a＜1，
∴$a=\frac{1}{3}$，
綜上得$a=\frac{1}{3}$．

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象及性質，考查二次函數(shù)的最值求解，考查學生分析問題解決問題的能力．