Question

16．過點(diǎn)$（2\sqrt{2}，0）$直線l與曲線$y=\sqrt{4-{x^2}}$交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△ABO的面積取最大值時(shí)，直線l的斜率等于-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 利用當(dāng)$∠AOB=\frac{π}{2}$時(shí)，S_△AOB面積最大，此時(shí)O到AB的距離$d=\sqrt{2}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖：∵${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{OA}||{OB}|sin∠AOB$=$\frac{1}{2}sin∠AOB≤\frac{1}{2}$，
當(dāng)$∠AOB=\frac{π}{2}$時(shí)，S_△AOB面積最大．此時(shí)O到AB的距離$d=\sqrt{2}$．
設(shè)AB方程為$y=k（x-2\sqrt{2}）（{k＜0}）$，即$kx-y-2\sqrt{2}k=0$．
由$d=\frac{{|{2\sqrt{2}k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$得$k=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
故答案為：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查三角形面積的計(jì)算，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．