Question

利用“五點(diǎn)法”換函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的圖象時(shí)，先列表（部分?jǐn)?shù)據(jù)）如下：

ωx+φ	0		π		2π
x	π 3	5π 6	4π 3	11π 6	7π 3
y		4		-2

（1）根據(jù)表格提供的份額數(shù)據(jù)求函數(shù)f（x）的解析式以及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若當(dāng)x∈[0，

7π

6

]時(shí)，方程f（x）=m+1恰有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，并求這兩個(gè)解的和．

Answer 1

考點(diǎn)：五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由最值求出A、B的值，由周期求出ω，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）將方程f（x）=m+1進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意可知

ω× π 3 +φ=0 ω× 4π 3 +φ=π

，解得ω=1，φ=-

π

3

，
由

B+A=4 B-A=-2

，解得A=3，B=1，即f（x）=3sin（x-

π

3

）+1，
由2kπ-

π

2

≤x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得2kπ-

π

6

≤x≤2kπ+

5π

6

，k∈Z，
則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[2kπ-

π

6

，2kπ+

5π

6

]，k∈Z；
（2）由f（x）=3sin（x-

π

3

）+1=m+1得m=3sin（x-

π

3

），
∵x∈[0，

7π

6

]，
∴x-

π

3

∈[-

π

3

，

5π

6

]，
由正弦函數(shù)的圖象可知，要使方程f（x）=m+1恰有兩個(gè)不同的解，
則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[

3

2

，3），
設(shè)這兩個(gè)實(shí)數(shù)解為x₁，x₂，
則（x₁-

π

3

）+（x₂-

π

3

）=2×

π

2

，
即x₁+x₂=

5π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由周期求出ω，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ的值，正弦函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性、定義域和值域，綜合考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．