已知橢圓（a＞b＞0）的焦距為4，且與橢圓有相同的離心率，斜率為k的直線l經(jīng)過點M（0，1），與橢圓C交于不同兩點A、B．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）當橢圓C的右焦點F在以AB為直徑的圓內(nèi)時，求k的取值范圍．
（1）
（2）（-∞，）

試題分析：解：（1）∵焦距為4，∴ c=2   1分
又∵的離心率為   2分
∴，∴a=，b=2   4分
∴標準方程為  6分
（2）設(shè)直線l方程：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
由得 7分
∴x1+x2=，x1x2=
由（1）知右焦點F坐標為（2，0），
∵右焦點F在圓內(nèi)部，∴＜0 9分
∴（x1 -2）（x2-2）+ y1y2＜0
即x1x2-2（x1+x2）+4+k2 x1x2+k（x1+x2）+1＜0  10分
∴＜0  12分
∴k＜    13分
經(jīng)檢驗得k＜時，直線l與橢圓相交，
∴直線l的斜率k的范圍為（-∞，） 14分.
點評：主要是考查了橢圓方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運用，屬于中檔題。
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知橢圓的左焦點為，左、右頂點分別為，上頂點為，過三點作圓  
（Ⅰ）若線段是圓的直徑，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若圓的圓心在直線上，求橢圓的方程;
（Ⅲ）若直線交（Ⅱ）中橢圓于，交軸于，求的最大值  

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知、分別為橢圓的兩個焦點,點為其短軸的一個端點,若為等邊三角形,則該橢圓的離心率為(    )
A．　 B．　C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓與直線相交于兩點．
（1）若橢圓的半焦距，直線與圍成的矩形的面積為8，
求橢圓的方程；
（2）若（為坐標原點），求證：；
（3）在（2）的條件下，若橢圓的離心率滿足，求橢圓長軸長的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

橢圓： 的左、右焦點分別是，離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為。
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）點是橢圓上除長軸端點外的任一點，連接，設(shè)的角平分線交的長軸于點，求的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點作斜率為的直線,使與橢圓有且只有一個公共點，設(shè)直線的斜率分別為。若，試證明為定值，并求出這個定值。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在矩形中，分別為四邊的中點，且都在坐標軸上，設(shè),．

（Ⅰ）求直線與的交點的軌跡的方程；
（Ⅱ）過圓上一點作圓的切線與軌跡交于兩點，若，試求出的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知點是直線被橢圓所截得的線段中點，求直線的方程。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

設(shè)橢圓的四個頂點A、B、C、D, 若菱形ABCD的內(nèi)切圓恰好經(jīng)過橢圓的焦點, 則橢圓的離心率為         __  ．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本題滿分12分）設(shè)橢圓：的左、右焦點分別為，上頂點為，過點與垂直的直線交軸負半軸于點，且．
（1）求橢圓的離心率； （2）若過、、三點的圓恰好與直線：相切，
求橢圓的方程；

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