Question

【題目】已知函數(shù)f（x）x2﹣（6+a）x+2alnx（a∈R）．

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）函數(shù)g（x）x2+（2a﹣4）lnx﹣1，若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng)a＞6時(shí)，f（x）在（，+∞），（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，）上單調(diào)遞減．

當(dāng)a＝6時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

當(dāng)0＜a＜6時(shí)，f（x）在（2，+∞），（0，）上單調(diào)遞增，f（x）在（，2）上單調(diào)遞減．

當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．

(2) （﹣5，+∞）．

【解析】

（1）首先對(duì)f（x）求導(dǎo)數(shù)，令，再討論當(dāng)、a＝6、、四種情況對(duì)應(yīng)的單調(diào)性。

（2）首先由f（x）＜g（x），化簡(jiǎn)得4lnx+1＜（6+a）x，因?yàn)?/span>x∈[1，e]，所以a＞[]min，

令h（x），對(duì) h（x）求導(dǎo)判斷其單調(diào)性即可。求出最小值即可。

（1）f′（x）＝3x﹣（6+a）（x＞0），

令f′（x）＝0，得x1，x2＝2，

①當(dāng)及a＞6時(shí)，

若x∈（，+∞）∪（0，2），f′（x）＞0，故f（x）在（，+∞），（0，2）上單調(diào)遞增，

若x∈（2，），f′（x）＜0，故f（x）在（2，）上單調(diào)遞減．

②當(dāng)a＝6時(shí)，f′（x）≥0對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，

故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

③當(dāng)02，即0＜a＜6時(shí)，

若x∈（2，+∞）∪（0，），f′（x）＞0，故f（x）在（2，+∞），（0，）上單調(diào)遞增

若x∈（，2），f′（x）＜0，故f（x）在（，2）上單調(diào)遞減．

④當(dāng)，即a≤0時(shí)，

若x∈（2，+∞），f′（x）＞0，故f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，

若x∈（0，2），f′（x）＜0，f（x）在（0，2）單調(diào)遞減．

綜上所述：當(dāng)a＞6時(shí)，f（x）在（，+∞），（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，）上單調(diào)遞減．

當(dāng)a＝6時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

當(dāng)0＜a＜6時(shí)，f（x）在（2，+∞），（0，）上單調(diào)遞增，f（x）在（，2）上單調(diào)遞減．

當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．

（2）當(dāng)x∈[1，e]，由f（x）＜g（x），化簡(jiǎn)得4lnx+1＜（6+a）x，

因?yàn)?/span>x∈[1，e]，所以a＞[]min，

令h（x），，

令h′（x）＝0，得x＝e，

當(dāng)x∈[1，e）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增．

當(dāng)x∈（e，e]時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減．

所以h（x）min＝{h（1），h（e）}，

h（1）＝﹣5＜h（e），

所以a＞﹣5，

故a的取值范圍是（﹣5，+∞）．