【題目】已知兩個函數(shù),
(Ⅰ)當(dāng)時,求在區(qū)間上的最大值;
(Ⅱ)求證:對任意,不等式都成立.
【答案】(Ⅰ)分類討論,詳見解析;(Ⅱ)證明見解析.
【解析】
(Ⅰ)利用導(dǎo)數(shù)得出在區(qū)間上為減函數(shù),在區(qū)間上為增函數(shù),然后分和兩種情況討論
(Ⅱ)求出的最小值和的最大值,將問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)最值之間大小關(guān)系的判斷即可.
(Ⅰ)由得:
∴當(dāng)時,,當(dāng)時,
∴在區(qū)間上為減函數(shù),在區(qū)間上為增函數(shù)
①當(dāng)時,在區(qū)間上為增函數(shù),
的最大值為
②當(dāng)時,
在區(qū)間上為減函數(shù),在區(qū)間上為增函數(shù)
∴的最大值為
下面比較與大小
∵
∴當(dāng)時,,
故在區(qū)間上的最大值為
當(dāng)時,,
在區(qū)間上的最大值為
綜上可知:當(dāng)時,在區(qū)間上的最大值為
當(dāng)時,在區(qū)間上的最大值為
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知,當(dāng)時,在區(qū)間上為減函數(shù),在區(qū)間上為增函數(shù)
所以當(dāng)時,
又由得:
∴當(dāng)時,,當(dāng)時,
∴在區(qū)間上為增函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù)
所以當(dāng)時,
綜上可知,當(dāng)時,不等式恒成立.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的零點;
(2)設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于,兩點,求證:;
(3)若,且不等式對一切正實數(shù)x恒成立,求k的取值范圍.
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【題目】雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.在平面直角坐標系中,把到定點,距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線.已知點是雙紐線上一點,下列說法中正確的有( )
①雙紐線經(jīng)過原點; ②雙紐線關(guān)于原點中心對稱;
③; ④雙紐線上滿足的點有兩個.
A.①②B.①②③C.②③D.②③④
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【題目】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為,且曲線關(guān)于直線對稱.
(1)求;
(2)若直線與曲線交于,,直線:與曲線交于,,且的面積不超過,求直線的傾斜角的取值范圍.
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【題目】下列說法中正確的是( )
A.對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量有一組觀測數(shù)據(jù),其線性回歸方程是,且,則實數(shù)的值是
B.正態(tài)分布在區(qū)間和上取值的概率相等
C.若兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強,則相關(guān)系數(shù)的值越接近于1
D.若一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)都是2
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【題目】在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),在極坐標系(與平面直角坐標系取相同的單位長度,以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸)中,曲線的極坐標方程為.
(1)若可,試判斷曲線和的位置關(guān)系;
(2)若曲線與交于點,兩點,且,滿足.求的值.
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【題目】已知函數(shù)
(1)當(dāng)a=-2時,求函數(shù)f(x)的極值;
(2)若ln[e(x+1)]≥2- f(-x)對任意的x∈[0,+∞)成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線,曲線C:就是其中之一(如圖).給出下列三個結(jié)論:
①曲線C恰好經(jīng)過6個整點(即橫、縱坐標均為整數(shù)的點);
②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過;
③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.
其中,所有正確結(jié)論的序號是
A. ①B. ②C. ①②D. ①②③
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【題目】農(nóng)歷五月初五是端午節(jié),民間有吃粽子的習(xí)慣,粽子又稱粽粒,俗稱“粽子”,古稱“角黍”,是端午節(jié)大家都會品嘗的食品,傳說這是為了紀念戰(zhàn)國時期楚國大臣、愛國主義詩人屈原.如圖,平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為2的正三角形構(gòu)成的,將它沿虛線折起來,可以得到如圖所示粽子形狀的六面體,則該六面體的表面積為________;該六面體內(nèi)有一球,則該球體積的最大值為________.
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