Question

4．袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為$\frac{1}{7}$，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時即終止，每個球在每一次被取出的機會是等可能的．
（Ⅰ）求袋中原有白球的個數(shù)；
（Ⅱ）求取球次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）本題是一個等可能事件的概率，設(shè)出袋中原有n個白球，
寫出試驗發(fā)生包含的事件數(shù)和滿足條件的事件數(shù)，
根據(jù)等可能事件的概率公式得到關(guān)于n的方程，解方程即可；
（Ⅱ）根據(jù)題意X的所有可能值為1，2，3，4，5；
計算X取每一個值時對應(yīng)的概率得分布列，
根據(jù)分布列求數(shù)學(xué)期望E（X）．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)袋中原有n個白球，由題意知：
$\frac{{C}_{n}^{2}}{{C}_{7}^{2}}$=$\frac{\frac{n（n-1）}{2}}{\frac{7×6}{2}}$=$\frac{n（n-1）}{7×6}$=$\frac{1}{7}$，
化簡得n（n-1）=6，
解得n=3或n=-2（不合題意，舍去），
即袋中原有3個白球；
（Ⅱ）由題意，X的可能取值為1，2，3，4，5，
計算P（X=1）=$\frac{3}{7}$，P（X=2）=$\frac{4×3}{7×6}$=$\frac{2}{7}$，
P（X=3）=$\frac{4×3×3}{7×6×5}$=$\frac{3}{35}$，P（X=4）=$\frac{4×3×2×3}{7×6×5×4}$=$\frac{3}{35}$，
P（X=5）=$\frac{4×3×2×1×3}{7×6×5×4×3}$=$\frac{1}{35}$；
所以X的分布列為：

X	1	2	3	4	5
P	$\frac{3}{7}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{6}{35}$	$\frac{3}{35}$	$\frac{1}{35}$

數(shù)學(xué)期望是E（X）=1×$\frac{3}{7}$+2×$\frac{2}{7}$+3×$\frac{6}{35}$+4×$\frac{3}{35}$+5×$\frac{1}{35}$=2．

點評 本題考查了隨機事件的概率計算問題，也考查了離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的問題，是基礎(chǔ)題．