Question

如圖所示，正方形與矩形所在平面互相垂直，，點(diǎn)為的中點(diǎn).
（1）求證：∥平面；（2）求證：；
（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1)祥見解析；（2）祥見解析；（3）存在滿足條件的.

解析試題分析：（1）O是AD₁的中點(diǎn)，連接OE，由中位線定理可得EO∥BD₁，再由線面平行的判定定理可得BD₁∥平面A₁DE；
（2）由正方形AA₁D₁D與矩形ABCD所在平面互相垂直，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得AB⊥平面ADD₁A₁，進(jìn)而線面垂直的性質(zhì)定理得到AB⊥A₁D，結(jié)合A₁D⊥AD₁及線面垂直的判定定理，可得A₁D⊥平面AD₁E，進(jìn)而D₁E⊥A₁D；
（3）以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA，DC，DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)M（1，a，0）（0≤a≤2），分別求出平面D₁MC的法向量和平面MCD的一個(gè)法向量，根據(jù)二面角D₁-MC-D的大小為，結(jié)合向量夾角公式，構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程可得M點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出AM長(zhǎng)．
試題解析：（1)連結(jié)交于，連結(jié),因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/f5/e/qagyy.png" style="vertical-align:middle;" />為正方形，所以為的中點(diǎn)，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，在中，有中位線定理有//，而平面，平面，
所以，//平面.
（2）因?yàn)檎�方�?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/56/7/zhurn.png" style="vertical-align:middle;" />與矩形所在平面互相垂直，所以，，
而，所以平面，又平面，所以.
（3）存在滿足條件的.
依題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/0e/2/l9rl12.png" style="vertical-align:middle;" />，則，，，，，所，
易知為平面的法向量，設(shè)，所以平面的法向量為，所以，即，所以，取，
則，又二面角的大小為，
所以，解得.
故在線段上是存在點(diǎn)