如圖所示,正方形與矩形所在平面互相垂直,,點(diǎn)的中點(diǎn).
(1)求證:∥平面;(2)求證:;
(3)在線段上是否存在點(diǎn),使二面角的大小為?若存在,求出的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說明理由.

(1)祥見解析;(2)祥見解析;(3)存在滿足條件的.

解析試題分析:(1)O是AD1的中點(diǎn),連接OE,由中位線定理可得EO∥BD1,再由線面平行的判定定理可得BD1∥平面A1DE;
(2)由正方形AA1D1D與矩形ABCD所在平面互相垂直,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得AB⊥平面ADD1A1,進(jìn)而線面垂直的性質(zhì)定理得到AB⊥A1D,結(jié)合A1D⊥AD1及線面垂直的判定定理,可得A1D⊥平面AD1E,進(jìn)而D1E⊥A1D;
(3)以點(diǎn)D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)M(1,a,0)(0≤a≤2),分別求出平面D1MC的法向量和平面MCD的一個(gè)法向量,根據(jù)二面角D1-MC-D的大小為,結(jié)合向量夾角公式,構(gòu)造關(guān)于a的方程,解方程可得M點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求出AM長(zhǎng).
試題解析:(1)連結(jié),連結(jié),因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f5/e/qagyy.png" style="vertical-align:middle;" />為正方形,所以的中點(diǎn),又點(diǎn)的中點(diǎn),在中,有中位線定理有//,而平面,平面,
所以,//平面.
(2)因?yàn)檎叫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/56/7/zhurn.png" style="vertical-align:middle;" />與矩形所在平面互相垂直,所以,,
,所以平面,又平面,所以.
(3)存在滿足條件的.
依題意,以為坐標(biāo)原點(diǎn),、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0e/2/l9rl12.png" style="vertical-align:middle;" />,則,,,,所,
易知為平面的法向量,設(shè),所以平面的法向量為,所以,即,所以,取,
,又二面角的大小為,
所以,解得.
故在線段上是存在點(diǎn)

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(2)若,求線段的長(zhǎng).

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在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中,E是BC的中點(diǎn),則 _  ▲   .

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