Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2sinx+x，0＜x＜π，求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極大值．

解答： 解：∵f（x）=2sinx+x，
∴f′（x）=1+2cosx，0＜x＜π，
令f′（x）=0，解得x=

2π

3

，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即cosx＞-

1

2

，解得0＜x＜

2π

3

，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，即cosx＜-

1

2

，解得

2π

3

＜x＜π，函數(shù)單調(diào)遞減，
故函數(shù)f（x）=x+2sinx的單調(diào)增區(qū)間為（0，

2π

3

），
單調(diào)減區(qū)間為（

2π

3

，π）．
當(dāng)x=

2π

3

時(shí)，函數(shù)取得極大值：

3

+

2π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，以及余弦函數(shù)圖象和性質(zhì)，函數(shù)的極值的求法，屬于中檔題．