13.已知f(x)=$\frac{2(x-a)}{{x}^{2}+bx+1}$是奇函數(shù).
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)關(guān)于x的不等式2m-1>f(x)有解,求m的取值范圍.

分析 (I)利用函數(shù)是奇函數(shù),得到f(x)+f(-x)=0恒成立,推出a=0,b=0,化簡函數(shù)的解析式,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由f'(x)>0,由f'(x)<0,求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(II)利用2m-1>f(x)有解,推出2m-1>f(x)min即可,利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值,求解即可.

解答 解:(I)∵$f(x)=\frac{2(x-a)}{{{x^2}+bx+1}}$是奇函數(shù),∴f(x)+f(-x)=0恒成立…(1分)
∴(a+b)x2+a=0恒成立,∴a=0,b=0…(3分)
∴$f(x)=\frac{2x}{{{x^2}+1}}$,$f'(x)=\frac{2(1-x)(1+x)}{{{{({x^2}+1)}^2}}}$…(4分)
由f'(x)>0,得-1<x<1;由f'(x)<0,得x>1或x<-1          …(5分)
故函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(-1,1),f(x)的減區(qū)間為(-∞,-1)和(1,+∞)…(6分).
(II)∵2m-1>f(x)有解,∴2m-1>f(x)min即可               …(7分)
當(dāng)x>0時,f(x)>0;當(dāng)x=0時,f(0)=0;當(dāng)x<0時,f(x)<0…(8分)
由(I)知f(x)在(-∞,-1)上為減函數(shù),在(-1,0)上為增函數(shù)
∴f(x)min=f(-1)=-1…(10分)
∴2m-1>-1,∴m>0                                    …(12分)

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,函數(shù)的最值的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

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(2)當(dāng)x>1時,關(guān)于x的不等式f(x)<0恒成立,求a的取值范圍.

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