Question

8．奇函數(shù)f（x）定義域?yàn)椋?π，0）∪（0，π），其導(dǎo)函數(shù)是f′（x）．當(dāng)0＜x＜π時(shí)，有f′（x）sinx-f（x）cosx＜0，則關(guān)于x的不等式f（x）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）sinx的解集為（　�。�

• A． （$\frac{π}{4}$，π）
• B． （-π，-$\frac{π}{4}$）∪（$\frac{π}{4}$，π）
• C． （-$\frac{π}{4}$，0）∪（0，$\frac{π}{4}$）
• D． （-$\frac{π}{4}$，0）∪（$\frac{π}{4}$，π）

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，利用導(dǎo)數(shù)判斷出g（x）單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出不等式的解集

解答 解：設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，
∴g′（x）=$\frac{f′（x）sinx-f（x）cosx}{si{n}^{2}x}$，
∵f（x）是定義在（-π，0）∪（0，π）上的奇函數(shù)，
故g（-x）=$\frac{f（-x）}{sin（-x）}$=$\frac{-f（x）}{-sinx}$=g（x）
∴g（x）是定義在（-π，0）∪（0，π）上的偶函數(shù)．
∵當(dāng)0＜x＜π時(shí)，f′（x）sinx-f（x）cosx＜0
∴g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，π）上單調(diào)遞減，
∴g（x）在（-π，0）上單調(diào)遞增．
∵f（$\frac{π}{2}$）=0，
∴g（$\frac{π}{2}$）=$\frac{f（\frac{π}{2}）}{sin\frac{π}{2}}$=0，
∵f（x）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）sinx，即g（$\frac{π}{4}$）＞g（x）；
①當(dāng)sinx＞0時(shí)，即x∈（0，π），所以x∈（$\frac{π}{4}$，π）；
②當(dāng)sinx＜0時(shí)，即x∈（-π，0）時(shí)，g（$\frac{π}{4}$）=g（-$\frac{π}{4}$）＜g（x）；
所以x∈（-$\frac{π}{4}$，0）；
即不等式f（x）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）sinx的解集為解集為（-$\frac{π}{4}$，0）∪（$\frac{π}{4}$，π），
故選：D

點(diǎn)評(píng) 求抽象不等式的解集，一般能夠利用已知條件判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將抽象不等式轉(zhuǎn)化為具體函的不等式解之