Question

4．在矩形ABCD中，AB=2AD=2，若P為DC上的動(dòng)點(diǎn)，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$-$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{BC}$的最小值為1．

Answer 1

分析 建立平面直角坐標(biāo)系，求出各向量的坐標(biāo)，代入向量的數(shù)量積公式得出關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)a的函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值．

解答 解：以A為原點(diǎn)，以AB，AD為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖：
則A（0，0），B（2，0），C（2，1），設(shè)P（a，1）（0≤a≤2）．
$\overrightarrow{PA}$=（-a，-1），$\overrightarrow{PB}$=（2-a，-1），$\overrightarrow{BC}$=（0，1），
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$-$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{BC}$=a（a-2）+1-（-1）=a²-2a+2=（a-1）²+1．
∴當(dāng)a=1時(shí)，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$-$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{BC}$取得最小值1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，建立坐標(biāo)系可簡(jiǎn)化計(jì)算，屬于中檔題．