8.已知0<α<β<π,且cosαcosβ=$\frac{1}{5}$,sinαsinβ=$\frac{2}{5}$,則tan(β-α)的值為$\frac{4}{3}$.

分析 由條件利用兩角和與差的余弦公式求得cos(β-α),再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sin(β-α)的值,可得tan(β-α)=$\frac{sin(β-α)}{cos(β-α)}$的值.

解答 解:∵0<α<β<π,且cosαcosβ=$\frac{1}{5}$,sinαsinβ=$\frac{2}{5}$,∴cos(β-α)=cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{3}{5}$,
∴sin(β-α)=$\sqrt{{1-cos}^{2}(β-α)}$=$\frac{4}{5}$,
則tan(β-α)=$\frac{sin(β-α)}{cos(β-α)}$=$\frac{4}{3}$,
故答案:$\frac{4}{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,兩角與差的余弦公式,屬于中等題.

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8.已知數(shù)列{an}:$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$,$\frac{1}{4}$+$\frac{2}{4}$+$\frac{3}{4}$,…,$\frac{1}{10}$+$\frac{2}{10}$+$\frac{3}{10}$+…+$\frac{9}{10}$,…,若bn=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$,那么數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn為( 。
A.$\frac{n}{n+1}$B.$\frac{4n}{n+1}$C.$\frac{3n}{n+1}$D.$\frac{5n}{n+1}$

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19.已知(1,2)∈{(x,y)|ax+by=1,bx+ay=1},求實(shí)數(shù)a,b的值.

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16.如圖,在等腰直角△ABC,∠ABC=90°,AB=2$\sqrt{2}$,點(diǎn)P在線段AC上,若點(diǎn)Q在線段PC上,且∠PBQ=30°,則△BPQ的面積的最小值為8-4$\sqrt{3}$.

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3.已知函數(shù)f(x)=x+$\frac{a}{x}$+b,其中a,b是常數(shù)且a>0.
(1)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f(x)在區(qū)間(0,$\sqrt{a}$]上是單調(diào)遞減函數(shù);
(2)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[$\sqrt{a}$,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),且在區(qū)間[1,2]上f(x)的最大值為5,最小值為3,求a的值.

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13.對(duì)于兩個(gè)定義域均為D的函數(shù)f(x),g(x),若存在最小正實(shí)數(shù)M,使得對(duì)于任意x∈D,都有|f(x)-g(x)|≤M,則稱M為函數(shù)f(x),g(x)的“差距”,并記作||f(x),g(x)||.
(1)求f(x)=sinx(x∈R),g(x)=cosx(x∈R)的差距;
(2)設(shè)f(x)=$\sqrt{x}$(x∈[1,e${\;}^{\frac{a}{2}}$]),g(x)=mlnx(x∈[1,e${\;}^{\frac{a}{2}}$]).(e≈2.718)
①若m=2,且||f(x),g(x)||=1,求滿足條件的最大正整數(shù)a;
②若a=2,且||f(x),g(x)||=2,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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20.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖和側(cè)視圖是腰長(zhǎng)為2的兩個(gè)全等的等腰直角三角形,則該幾何體的外接球的表面積是( 。
A.$\frac{8}{3}$B.4$\sqrt{3}$πC.12πD.$\frac{8\sqrt{3}}{3}$π

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17.冪函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,8),且滿足f(x)=64的x的值是4.

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18.已知二次函數(shù)f(x)=2x2-4x.
(1)指出圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸方程、頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)用描點(diǎn)法畫(huà)出它的圖象;
(3)求出函數(shù)的最值,并分析函數(shù)的單調(diào)性.

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