Question

1．已知函數(shù)f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}}$）cosx．
（1）若x∈[0，$\frac{π}{2}}$]，求f（x）的取值范圍；
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知A為銳角，f（A）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，b=2，c=3，求BC邊上的中線長．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡表達(dá)式為一個角的一個三角函數(shù)的形式，結(jié)合x的范圍求出相位的范圍，即可求出函數(shù)的值域．
（2）求出A的值，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，利用$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}）$，通過平方求出BC邊上的中線長．

解答 解：（1）$f（x）=（{sinx+\sqrt{3}cosx}）cosx=sinxcosx+\sqrt{3}{cos^2}x$
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∵x∈[0，$\frac{π}{2}}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]．∴$-\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤1．
∴f（x）∈[0，1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
（2）由$f（A）=sin（{2A+\frac{π}{3}}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得$sin（{2A+\frac{π}{3}}）=0$，又A為銳角，∴$A=\frac{π}{3}$．
設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}）$，
∴${\overrightarrow{AD}^2}=\frac{1}{4}（{{{\overrightarrow{AB}}^2}+{{\overrightarrow{AC}}^2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}）=\frac{1}{4}（{4+9+2×2×3×\frac{1}{2}}）=\frac{19}{4}$，
∴$|{\overrightarrow{AD}}|=\frac{{\sqrt{19}}}{2}$，
∴BC邊的中線長為$\frac{{\sqrt{19}}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)向量的數(shù)量積的應(yīng)用，三角形的解法，考查計(jì)算能力．