Question

定義在R上的奇函數y=f（x） 滿足f（3）=0，且不等式f（x）＞-xf′（x）在（0，+∞）上恒成立，則函數g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零點個數為

 

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Answer 1

考點：函數的圖象

專題：函數的性質及應用

分析：根據條件構造函數，利用導數和函數單調性之間的關系．結合數形結合即可得到結論．

解答： 解：∵不等式f（x）＞-xf′（x）在（0，+∞）上恒成立，
∴不等式f（x）+xf′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
即[xf（x）]′=f（x）+xf′（x）＞0，
即xf（x）在（0，+∞）遞增，
∵在R上的奇函數y=f（x） 滿足f（3）=0，
∴xf（x）為偶函數且有一個零點為3，
令g（x）=0得xf（x）=-lg|x+1|，
如圖可知g（x）有3個零點，
故答案為：3

點評：本題主要考查函數零點個數的判斷，根據條件構造函數，利用導數研究函數的單調性是解決本題的關鍵．注意要數形結合．