Question

7．已知$\overrightarrow{a}$=（$\frac{3}{2}$，-cosx），$\overrightarrow$=（sinx，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），x∈[0，$\frac{π}{2}$]，則函數(shù)f（x）=$\vec a•\vec b$的最大值為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)向量數(shù)量積的公式先求出函數(shù)f（x）的表達式，結(jié)合兩角和差的正弦公式轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：f（x）=$\vec a•\vec b$=（$\frac{3}{2}$，-cosx）•（sinx，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{3}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx=$\sqrt{3}$（sinx$•\frac{\sqrt{3}}{2}$-cosx$•\frac{1}{2}$）
=$\sqrt{3}$sin（x-$\frac{π}{6}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴當x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$時，函數(shù)f（x）取得最大值，
此時最大值為$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$，
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查函數(shù)最值的求解，根據(jù)向量數(shù)量積的公式求出函數(shù)的表達式以及利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．