Question

19．已知向量$\overrightarrow{OA}$=（λcosα，λsinα）（λ≠0），$\overrightarrow{OB}$=（-sinβ，cosβ），其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若λ=1且α=$\frac{π}{2}$，β=$\frac{π}{3}$，求向量$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角；
（2）若α-β=$\frac{π}{2}$，求使得|${\overrightarrow{BA}}$|≥2|${\overrightarrow{OB}}$|成立的λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得向量OA，OB，運(yùn)用數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，運(yùn)用向量的夾角公式，計(jì)算即可得到所求；
（2）運(yùn)用向量的加減運(yùn)算和向量的平方即為模的平方，結(jié)合兩角差的正弦公式，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）當(dāng)λ=1且α=$\frac{π}{2}$，β=$\frac{π}{3}$時(shí)，$\overrightarrow{OA}$=（0，1），$\overrightarrow{OB}=（{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}}）$，
即有$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，
則cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{1}{2}$，
又＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞∈[0，π]，
可得＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=$\frac{π}{3}$，
即向量$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角為$\frac{π}{3}$；
（2）由已知$\overrightarrow{BA}=（{λcosα+sinβ，λsinα-cosβ}）$，
|${\overrightarrow{BA}}$|≥2|${\overrightarrow{OB}}$|，即|${\overrightarrow{BA}}$|²≥4|${\overrightarrow{OB}}$|²，
即有（λcosα+sinβ）²+（λsinα-cosβ）²≥4，
即為λ²+1-2λ（sinαcosβ-cosαsinβ）≥4，
即有λ²+1-2λsin（α-β）≥4，
又α-β=$\frac{π}{2}$，則λ²-2λ+1≥4⇒λ²-2λ-3≥0⇒λ≤-1或λ≥3，
可得λ的取值范圍是（-∞，-1]∪[3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的定義和坐標(biāo)表示，以及向量的平方即為模的平方，同時(shí)考查三角函數(shù)的恒等變換公式的運(yùn)用，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．