Question

16．設函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$（a∈R）．
（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f（x）的極小值；
（Ⅱ）f（x）的導函數(shù)是f′（x），討論函數(shù)g（x）=f′（x）-x的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=1時，f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，利用f′（x）判定f（x）的增減性并求出f（x）的極小值；
（Ⅱ）由函數(shù)g（x）=f′（x）-x，令g（x）=0，求出m；設φ（x）=a，求出φ（x）的值域，討論a的取值，對應g（x）的零點情況．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$；
∴當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上是減函數(shù)；
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
∴x=1時，f（x）取得極小值為f（1）=ln1+1=1；
（Ⅱ）∵函數(shù)g（x）=f′（x）-x=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$-x（x＞0），
令g（x）=0，得a=-x³+x（x＞0）；
設φ（x）=-x³+x（x＞0），
∴φ′（x）=-3x²+1=-3（x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）（x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）；
當x∈（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）時，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）上是增函數(shù)，
當x∈（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）時，φ′（x）＜0，φ（x）在（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）上是減函數(shù)；
∴x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$是φ（x）的極值點，且是極大值點，
∴x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$是φ（x）的最大值點，
∴φ（x）的最大值為φ（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$；
又φ（0）=0，結合y=φ（x）的圖象，如圖：
；
可知：①當a＞$\frac{2\sqrt{3}}{9}$時，函數(shù)g（x）無零點；
②當a=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$時，函數(shù)g（x）有且只有一個零點；
③當0＜a＜$\frac{2\sqrt{3}}{9}$時，函數(shù)g（x）有兩個零點；
④當a≤0時，函數(shù)g（x）有且只有一個零點；
綜上，當a＞$\frac{2\sqrt{3}}{9}$時，函數(shù)g（x）無零點；
當a=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$或a≤0時，函數(shù)g（x）有且只有一個零點；
當0＜a＜$\frac{2\sqrt{3}}{9}$時，函數(shù)g（x）有兩個零點．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用問題，解題時應根據(jù)函數(shù)的導數(shù)判定函數(shù)的增減性以及求函數(shù)的極值和最值，應用分類討論法，構造函數(shù)等方法來解答問題，是難題．