Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{e^x}{x-ae}$的極值點(diǎn)為2e+1．（這里的 是自然對(duì)數(shù)的底）
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若數(shù)列{a_n}滿足a_n=f（n），問(wèn)：數(shù)列{a_n}是否存在最小項(xiàng)？若存在，求出該最小項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明再由；
（3）求證：f（2e+1）•f（2e+2）•…•f（2e+n）＞（n+1）e^2ne．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出a的值，檢驗(yàn)即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f（x）的單調(diào)性求出數(shù)列{a_n}存在最小項(xiàng)為${a_5}=\frac{e^5}{5-2e}$；
（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為e•e²•…•eⁿ＞2•3•…•（n+1），設(shè)函數(shù)g（x）=e^x-x-1（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）＞g（0）=0，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{e^x}{x-ae}$，∴$f'（x）=\frac{{（{x-ae-1}）{e^x}}}{{{{（{x-ae}）}^2}}}$…（2分）
∵$f（x）=\frac{e^x}{x-ae}$的極值點(diǎn)為2e+1，∴f'（2e+1）=0，解得a=2，
經(jīng)檢驗(yàn)，a=2符合題意，∴a=2．　…（4分）
（2）數(shù)列{a_n}存在最小項(xiàng)．證明如下：
由（1）知，f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x-2e}$，
∴當(dāng)x＞2e時(shí)，f（x）＞0，當(dāng)x＜2e時(shí)，f（x）＜0．
即當(dāng)n≥6時(shí)，a_n＞0，而當(dāng)n≤5時(shí)，a_n＜0．…（6分）
以下判斷a₁，a₂，…，a₅中的最小項(xiàng)：
∵當(dāng)x＜2e時(shí)，$f'（x）=\frac{{（{x-2e-1}）{e^x}}}{{{{（{x-2e}）}^2}}}＜0$，f（x）在（0，2e）上單調(diào)遞減，
∴f（1）＞f（2）＞…＞f（5），即a₁＞a₂＞…＞a₅，
∴數(shù)列{a_n}存在最小項(xiàng)為${a_5}=\frac{e^5}{5-2e}$．…（8分）
（3）∵f（2e+1）•f（2e+2）•…•f（2e+n）＞（n+1）e^2ne，
$?\frac{{{e^{2e+1}}}}{1}•\frac{{{e^{2e+2}}}}{2}•…•\frac{{{e^{2e+n}}}}{n}＞（{n+1}）{e^{2n\;e}}$$?\frac{{{e^{2e+1}}}}{1}•\frac{{{e^{2e+2}}}}{2}•…•\frac{{{e^{2e+n}}}}{n}＞（{n+1}）{e^{2n\;e}}$
?e•e²•…•eⁿ＞2•3•…•（n+1），…（10分）
設(shè)函數(shù)g（x）=e^x-x-1（x＞0），
則g'（x）=e^x-1＞0（x＞0），
g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）＞g（0）=0，
即當(dāng)x＞0時(shí)，e^x＞x+1，當(dāng)x分別取1，2，…n，再相乘，
得：e•e²•…•eⁿ＞2•3•…•（n+1）成立，
∴f（2e+1）•f（2e+2）•…•f（2e+n）＞（n+1）e^2ne．　…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，是一道綜合題．