20.如圖,在圓錐PO中,已知PO=$\sqrt{2}$,⊙O 的直徑AB=2,C是弧$\widehat{AB}$的中點(diǎn),D為AC的中點(diǎn).
(1)證明:AC⊥平面POD;
(2)求二面角B-PA-C的余弦值.

分析 (1)連結(jié)OC,推導(dǎo)出AC⊥OD,AC⊥PO,由此能證明AC⊥平面POD,
(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB、OC、OP所在直線分別為x軸、y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角B-PA-C的余弦值.

解答 證明:(1)連結(jié)OC,因?yàn)镺A=OC,D是AC的中點(diǎn),∴AC⊥OD,
又PO⊥底面⊙O,AC?底面⊙O,
所以AC⊥PO,
因?yàn)镺D,PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線,
所以AC⊥平面POD,
解:(2)如圖所示,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB、OC、OP所在直線分別為x軸、y軸,z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,
則O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),
C(0,1,0),P(0,0,$\sqrt{2}$),D(-$\frac{1}{2},\frac{1}{2}$,0),
設(shè)$\overrightarrow{n}$=(x,y,z)是平面PAC的一個(gè)法向量,
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=-x-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=y+\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$,取z=1,得$\overrightarrow{n}$=(-$\sqrt{2},\sqrt{2},1$).
又因?yàn)閥軸⊥平面PAB,
所以平面PAB的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=(0,1,0),
設(shè)向量$\overrightarrow{n}$和$\overrightarrow{m}$的夾角為θ,
則cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$,
由圖可知,二面角B-PA-C的平面角與θ相等,
所以二面角B-PA-C的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

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