Question

13．已知$\overrightarrow{a}$=（2sin$\frac{x}{2}$，$\sqrt{3}$+1），$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$-$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$，1），f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$+m．
（1）求f（x）在[0，2π]上的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，f（x）的最小值為2，求f（x）≥2成立的x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及二倍角公式和兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，解不等式即可得到所求范圍；
（2）由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得m=0，解不等式即可得到所求集合．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$+m=2sin$\frac{x}{2}$（cos$\frac{x}{2}$-$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$）+1+$\sqrt{3}$+m
=sinx-$\sqrt{3}$•（1-cosx）+1+$\sqrt{3}$+m=sinx+$\sqrt{3}$cosx+1+m
=2sin（x+$\frac{π}{3}$）+1+m，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，可得2kπ-$\frac{5π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，可得2kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{7π}{6}$，k∈Z，
由x∈[0，2π]，可得增區(qū)間為[0，$\frac{π}{6}$]，[$\frac{7π}{6}$，2π]，
減區(qū)間為[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
即有x+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$，即x=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取得最小值2+m=2，
即m=0，f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）+1，
由f（x）≥2，即為sin（x+$\frac{π}{3}$）≥$\frac{1}{2}$，
可得2kπ+$\frac{π}{6}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
解得x的取值集合為{x|2kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查三角函數(shù)的恒等變換的運(yùn)用，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．