Question

4．已知命題p：“?x∈{x|-1≤x≤1}，都有x²-x-m＜0成立”，命題q：“關于x的方程|x-m|+mx²=x³有且只有一個實根”．
（1）若p真，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若“p∨q”為真且“p∧q”為假，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）p真，參數(shù)移到一側，利用恒成立求解另一側的最值即可．
（2）分別求解命題成立時的參數(shù)的范圍，利用復合命題的真假列出不等式求解即可．

解答 解：（1）命題p：“?x∈{x|-1≤x≤1}，都有x²-x-m＜0成立”，
可得x²-x＜m，在-1≤x≤1時恒成立，x²-x≤2，可得m＞2．
即：B={m|m＞2}；
（2）易知，x=m是方程的一個根，
當x＜m時，方程化為：（x-m）（x²+1）=0，顯然無解．
所以由方程|x-m|+mx²=x³有且只有一個實數(shù)根，可得x≥m．
則：（x-1）（x+1）（x-m）=0，且x≥m，若q為真命題，可得m≥1，
①若p真q假，$\left\{\begin{array}{l}{m＞2}\\{m＜1}\end{array}\right.$，m∈∅．
②若p假q真，$\left\{\begin{array}{l}{m≤2}\\{m≥1}\end{array}\right.$，可得1≤m≤2．
綜上實數(shù)md的取值范圍為：[1，2]．

點評 本題考查命題的真假的判斷與應用，函數(shù)恒成立應用，考查計算能力．