Question

14．已知圓A：x²+（y+1）²=1，圓B：（x-4）²+（y-3）²=1．
（1）過A的直線L截圓B所得的弦長為$\frac{6}{5}$，求該直線L的斜率；
（2）動圓P同時平分圓A與圓B的周長；
①求動圓圓心P的軌跡方程；
②問動圓P是否過定點，若經(jīng)過，則求定點坐標；若不經(jīng)過，則說明理由．

Answer 1

分析 （1）設直線為y=kx-1，由弦長可得圓心B到直線L的距離為$\frac{4}{5}$，點到直線L的距離為$\frac{{|{4k-3-1}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{4}{5}$，化簡即可求該直線L的斜率；
（2）動圓P同時平分圓A與圓B的周長；
①PA=PB，知P在AB的中垂線上，即可求動圓圓心P的軌跡方程；
②圓的方程化為x²+y²-6y-8-2m（x-y-1）=0，即可得出結論．

解答 解：（1）設直線為y=kx-1，由弦長可得圓心B到直線L的距離為$\frac{4}{5}$，
點到直線L的距離為$\frac{{|{4k-3-1}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{4}{5}$，化簡得：12k²-25k+12=0，
解得$k=\frac{4}{3}$，或$\frac{3}{4}$（4分）
（2）①作出圖形可得PA=PB，知P在AB的中垂線上，求得x+y-3=0，（8分）
②
設P（m，3-m），作出圖形知r²=PA²+1²=m²+（3-m+1）²+1，
圓P的方程：（x-m）²+（y+（m-3））²=m²+（3-m+1）²+1，
∴x²+y²-2mx+2（m-3）y+（m-3）²=（m-4）²+1，
∴x²+y²-2mx+2（m-3）y+2m-8=0，
∴x²+y²-6y-8-2m（x-y-1）=0
由$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}-6y-8=0}\\{x-y-1=0}\end{array}}\right.$，得兩個定點為$（2+\frac{{3\sqrt{2}}}{2}，1+\frac{{3\sqrt{2}}}{2}），（2-\frac{{3\sqrt{2}}}{2}，1-\frac{{3\sqrt{2}}}{2}）$，（12分）

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查軌跡方程，考查圓過定點，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．