Question

14．已知圓A：x²+（y+1）²=1，圓B：（x-4）²+（y-3）²=1．
（1）過(guò)A的直線L截圓B所得的弦長(zhǎng)為$\frac{6}{5}$，求該直線L的斜率；
（2）動(dòng)圓P同時(shí)平分圓A與圓B的周長(zhǎng)；
①求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程；
②問(wèn)動(dòng)圓P是否過(guò)定點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)，則求定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，則說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線為y=kx-1，由弦長(zhǎng)可得圓心B到直線L的距離為$\frac{4}{5}$，點(diǎn)到直線L的距離為$\frac{{|{4k-3-1}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{4}{5}$，化簡(jiǎn)即可求該直線L的斜率；
（2）動(dòng)圓P同時(shí)平分圓A與圓B的周長(zhǎng)；
①PA=PB，知P在AB的中垂線上，即可求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程；
②圓的方程化為x²+y²-6y-8-2m（x-y-1）=0，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)直線為y=kx-1，由弦長(zhǎng)可得圓心B到直線L的距離為$\frac{4}{5}$，
點(diǎn)到直線L的距離為$\frac{{|{4k-3-1}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{4}{5}$，化簡(jiǎn)得：12k²-25k+12=0，
解得$k=\frac{4}{3}$，或$\frac{3}{4}$（4分）
（2）①作出圖形可得PA=PB，知P在AB的中垂線上，求得x+y-3=0，（8分）
②
設(shè)P（m，3-m），作出圖形知r²=PA²+1²=m²+（3-m+1）²+1，
圓P的方程：（x-m）²+（y+（m-3））²=m²+（3-m+1）²+1，
∴x²+y²-2mx+2（m-3）y+（m-3）²=（m-4）²+1，
∴x²+y²-2mx+2（m-3）y+2m-8=0，
∴x²+y²-6y-8-2m（x-y-1）=0
由$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}-6y-8=0}\\{x-y-1=0}\end{array}}\right.$，得兩個(gè)定點(diǎn)為$（2+\frac{{3\sqrt{2}}}{2}，1+\frac{{3\sqrt{2}}}{2}），（2-\frac{{3\sqrt{2}}}{2}，1-\frac{{3\sqrt{2}}}{2}）$，（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查軌跡方程，考查圓過(guò)定點(diǎn)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．