Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2x+5}{x+2}$，定義在R上的函數(shù)g（x）周期為2，且滿足g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2，x∈[0，1）}\\{2-{x}^{2}，x∈[-1，0）}\end{array}\right.$，則函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在區(qū)間[-5，1]上的所有零點之和為（　�。�

• A． -4
• B． -6
• C． -7
• D． -8

Answer 1

分析 化簡g（x）的表達式，得到g（x）的圖象關于點（-2，1）對稱，由f（x）的周期性，畫出f（x），g（x）的圖象，通過圖象觀察[-5，1]上的交點的橫坐標的特點，求出它們的和．

解答 解：由題意知g（x）=2+$\frac{1}{x+2}$，函數(shù)f（x）的周期為2，
則函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間[-5，1]上的圖象如下圖所示：
由圖形可知函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間[-5，1]上的交點為A，B，C，
易知點B的橫坐標為-3，若設C的橫坐標為t（0＜t＜1），
則點A的橫坐標為-4-t，
所以方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-5，1]上的所有實數(shù)根之和為-3+（-4-t）+t=-7．
故選：C．

點評 本題考查分段函數(shù)的圖象和運用，考查函數(shù)的周期性、對稱性和應用，同時考查數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題．