如圖甲，在平面四邊形PABC中，PA=AC=2，∠P=45°，∠B=90°，
∠PCB=105°，現(xiàn)將四邊形PABC沿AC折起，使平面PAC⊥平面ABC
（如圖乙），D，E分別是棱PB和PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求平面ADE與平面ABC所成的銳二面角的余弦值．
考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定
專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（Ⅰ）由已知得PA⊥AC，PA⊥平面ABC，從而PA⊥BC，又由圖甲知BC⊥BA，由此能證明BC⊥平面PAB．
（Ⅱ）法一：以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線BA，BC為x，y軸，以垂直平面ABC向上方向?yàn)閦軸，利用向量法能求出二面角的余弦值．
法二：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線AC，AP為x，z軸，以垂直平面APC向外方向?yàn)閥軸，利用向量法能求出二面角的余弦值．
解答： 解：（Ⅰ）證明：平面PAC⊥平面ABC，并交于AC，
PA⊥AC，有PA⊥平面ABC，
故PA⊥BC，又由圖甲知BC⊥BA，PA∩AB=A，
所以BC⊥平面PAB；…（6分）
（Ⅱ）解法一：如圖所示，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線BA，BC為x，y軸，
以垂直平面ABC向上方向?yàn)閦軸，PA=2，則BC=1，BA=
3
，
A（
3
，0，0），P（
3
，0，2），C（0，1，0），
D（
3
2
，0，1），E（
3
2
，
1
2
，1），…（7分）
AD
=(-
3
2
，0，1)，
DE
=(0，
1
2
，0)，
設(shè)平面ADE的法向量為
m
=(x，y，z)，
則
m
•
AD
=(x，y，z)•(-
3
2
，0，1)=0
m
•
DE
=(x，y，z)•(0，
1
2
，0)=0
，
-
3
2
x+z=0
1
2
y=0
，y=0，令x=2，則z=
3
，
m
=(2，0，
3
)，…（9分）
平面ABC的法向量
n
=(0，0，1)，cos＜
m
，
n
＞=
|m
•
n|
|m
|×|
n|
=
3
7
×1
=
21
7
．…（11分）
故所求二面角的余弦值為
21
7
．…（12分）
解法二：如圖所示，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線AC，AP為x，z軸，
以垂直平面APC向外方向?yàn)閥軸，PA=2，
則BC=1，BA=
3
，A（0，0，0），P（0，0，2），B（
3
2
，
3
2
，0），
C（2，0，0），D（
3
4
，
3
4
，1），E（1，0，1），…（7分）
AD
=(
3
4
，
3
4
，1)，
AE
=(1，0，1)，
設(shè)平面ADE的法向量為
m
=(x，y，z)，
則
m
•
AD
=(x，y，z)•(
3
4
，
3
4
，1)=0
m
•
AE
=(x，y，z)•(1，0，1)=0
，
3x+
3
y+4z=0
x+z=0
，
令x=1，則z=-1，y=
3
3
，
故
m
=(1，
3
3
，-1)，…（9分）
平面ABC的法向量
n
=(0，0，1)，cos＜
m
，
n
＞=
|m
•
n|
|m
|×|
n|
=
1
7
3
×1
=
21
7
．…（11分）
故所求銳二面角的余弦值為
21
7
．…（12分）
點(diǎn)評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知全集U=R，集合A={x|x+1＞0}，B={x|y=loga（x+2）}，則集合（∁UA）∩B=（　�。�
A、（-2，-1）
B、（-2，-1]
C、（-∞，-2）
D、（-1，-∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={-2，0，1，3，5}，B={x∈N|-2＜x≤4}，則A∩B=（　　）
A、{1，3}
B、{0，1，3}
C、{-1，0，1，3}
D、{-1，0，1，2，3，4，5}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線
x2
4
-
y2
21
=1的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則
|PF1|2
|PF2| 
的最小值為（　�。�
A、24B、20C、16D、12

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，且f（x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱；當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-x2+2015x．若f（2-a2）+f（a）＜0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A、（-∞，-1）∪（2，+∞）
B、（-∞，-2）∪（1，+∞）
C、（-1，2）
D、（-2，1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

經(jīng)過點(diǎn)P（0，2）作直線l交橢圓
x2
2
+y2=1于A，B兩點(diǎn)．
（1）若△AOB的面積是
2
3
，求直線l的方程（其中O為原點(diǎn)）．
（2）當(dāng)△AOB的面積最大時(shí)，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

⊙A的方程為x2+y2-2x-2y-7=0，⊙B的方程為x2+y2+2x+2y-2=0，判斷⊙A和⊙B是否相交．若相交，求過兩交點(diǎn)的直線的方程及兩交點(diǎn)間的距離；若不相交，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosx-
3
sin2x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在x∈[0，
π
2
]的值域；
（Ⅲ）能否把函數(shù)f（x）的圖象進(jìn)行適當(dāng)?shù)钠揭频玫揭粋�(gè)奇函數(shù)的圖象？如果能，寫出一個(gè)平移的方法；如果不能，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列命題：
①（
AA1
+
AD
+
AB
）2=3
AB
2；
②
A1C
•(
A1B1
-
A1A
)=0；
③
AD1
與
A1B
的夾角為60°；
④正方體的體積為|
AB
•
AA1
•
AD
|．
其中正確的命題的序號(hào)是
 
．

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同步練習(xí)冊答案