Question

20．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）在直線y=2x+2上，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且T_n=2b_n-3，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=$\frac{1}{（\frac{{a}_{n}}{2}-1）（\frac{{a}_{n}}{2}+1）}$，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為A_n，求證：A_n≥$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）分別根據(jù)遞推公式和求和公式，即可求出數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式，
（2）求出c_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），根據(jù)列項(xiàng)求和和函數(shù)的單調(diào)性即可證明．

解答 解：（1）∵點(diǎn)（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）在直線y=2x+2上，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=2n+2，
∴S_n=2n²+2n，
∴S_n-1=2（n-1）²+2（n-1），
∴a_n=S_n-S_n-1=4n，
∵T_n=2b_n-3，
∴T_n-1=2b_n-1-3，
∴T_n=T_n-1=b_n=2b_n-2b_n-1，
∴b_n=2b_n-1，
∵b₁=T₁=2b₁-3，
∴b₁=3，
∴{b_n}是以3為首項(xiàng)，以2為等比的等比數(shù)列，
∴b_n=3×2^n-1，
（2）∵c_n=$\frac{1}{（\frac{{a}_{n}}{2}-1）（\frac{{a}_{n}}{2}+1）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴A_n=c₁+c₂+…+c_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
∵f（n）=-$\frac{1}{2n+1}$為增函數(shù)，
∴f（n）≥f（1）=$-\frac{1}{3}$，
∴A_n≥$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式，a_n=S_n-S_n-1，求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，列項(xiàng)求和方法的應(yīng)用，要掌握該求和方法，以及數(shù)列和函數(shù)單調(diào)性，屬于中檔題．