Question

12．在直角坐標(biāo)系中，曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+3cosα}\\{y=2+3sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線C₂：ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）寫出C₁的普通方程與C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線C₃：θ=$\frac{3π}{4}$（ρ∈R）交C₁于M，N兩點(diǎn)，P為C₂上一點(diǎn)，求△PMN的面積．

Answer 1

分析 （I）使用同角三角函數(shù)的關(guān)系消元得出C₁的方程，將ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$左側(cè)展開化簡(jiǎn)利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系得出C₂的方程；
（II）求出C₃的直角坐標(biāo)方程，解方程組得出M，N的坐標(biāo)，解出P到MN的距離即可得出三角形的面積．

解答 解：（I）∵$\left\{\begin{array}{l}{x=1+3cosα}\\{y=2+3sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），∴cosα=$\frac{x-1}{3}$，sinα=$\frac{y-2}{3}$，
∴曲線C₁的普通方程為（$\frac{x-1}{3}$）²+（$\frac{y-2}{3}$）²=1，即（x-1）²+（y-2）²=9．
∵ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，∴ρsinθ+ρcosθ=2，
∴直線C₂的直角坐標(biāo)方程為x+y-2=0．
（II）直線C₃的斜率為tan$\frac{3π}{4}$=-1，∴直線C₃的普通方程為x+y=0．
∴直線C₂，C₃的距離d=$\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}+（y-2）^{2}=9}\\{x+y=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴|MN|=$\sqrt{（-2-1）^{2}+（2+1）^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
∴S_△PMN=$\frac{1}{2}|MN|•d$=$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×\sqrt{2}$=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，直線與圓的位置關(guān)系，距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．