Question

14．已知雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩頂點(diǎn)為A₁，A₂，虛軸兩端點(diǎn)為B₁，B₂，兩焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂．若以A₁A₂為直徑的圓內(nèi)切于菱形F₁B₁F₂B₂，則雙曲線(xiàn)的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
• C． $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{3+\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由題意可得頂點(diǎn)和虛軸端點(diǎn)坐標(biāo)及焦點(diǎn)坐標(biāo)，求得菱形的邊長(zhǎng)，運(yùn)用等積法可得$\frac{1}{2}$•2b•2c=$\frac{1}{2}$a•4$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$，再由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得A₁（-a，0），A₂（a，0），B₁（0，b），B₂（0，-b），
F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
且a²+b²=c²，菱形F₁B₁F₂B₂的邊長(zhǎng)為$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$，
由以A₁A₂為直徑的圓內(nèi)切于菱形F₁B₁F₂B₂，
運(yùn)用面積相等，可得
$\frac{1}{2}$•2b•2c=$\frac{1}{2}$a•4$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$，
即為b²c²=a²（b²+c²），
即有c⁴+a⁴-3a²c²=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e⁴-3e²+1=0，
解得e²=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，
可得e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$舍去）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的離心率的求法，注意運(yùn)用圓內(nèi)切等積法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．