Question

（1）已知x＞1，求函數(shù)y=2x+

1

x-1

的最小值；
（2）解關(guān)于x的不等式（ax-1）²＜1（a≤0）．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式,其他不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由x＞1，可得函數(shù)y=2x+

1

x-1

=2（x-1）+

1

x-1

+2，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，不等式化為1＜1，因此不等式的解集為∅．當(dāng)a＜0時(shí)，（ax-1）²＜1化為-1＜ax-1＜1，解出即可．

解答： 解：（1）∵x＞1，
∴函數(shù)y=2x+

1

x-1

=2（x-1）+

1

x-1

+2≥2

2(x-1)• 1 x-1

+2=2

2

+2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1+

2

2

時(shí)取等號(hào)，
∴函數(shù)y=2x+

1

x-1

的最小值為：2+2

2

；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，不等式化為1＜1，因此不等式的解集為∅．
當(dāng)a＜0時(shí)，（ax-1）²＜1化為-1＜ax-1＜1，即0＜ax＜2，解得

2

a

＜x＜0，不等式的解集為(

2

a

，0)．
綜上可得：當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為∅；當(dāng)a＜0時(shí)，不等式的解集為(

2

a

，0)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式的性質(zhì)、含絕對(duì)值不等式的解法、分類討論的思想方法，屬于基礎(chǔ)題．