Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且滿足f（x+2）=-f（x）．
（1）求證：f（x+4）=f（x）
（2）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f（x）=（

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2

）x，求f（x）在[-1，3]的解析式
（3）在（2）的條件下，求使f（x）=-

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2

在[0，2011]上的所有x的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的周期性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知等式f（x+2）=-f（x），用x+2替換x，結(jié)合函數(shù)周期性的定義和已知條件，不難得到f（x）是以4為一個(gè)周期的周期函數(shù)．
（2）根據(jù)函數(shù)在[-1，1]上的表達(dá)式，再設(shè)1＜x≤3，則得f（x-2）=

1

2

(x-2)=-f（x）， 從而可得f（x）在區(qū)間（1，3]上的表達(dá)式，綜上所述，可得f（x）在[-1，3]的解析式．
（3）求出f（x）=-

1

2

時(shí)x的值．再根據(jù)函數(shù)的周期性求出在[0，2011]上的所有x的個(gè)數(shù)

解答： 解：（1）由題意可得：f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
故f（x）的周期為4，
（2）∵當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f（x）=

1

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x，
設(shè)1＜x≤3，則-1＜x-2≤1，
∴f（x-2）=

1

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（x-2），
又∵f（x-2）=-f（x），
∴-f（x）=

1

2

（x-2），
可得f（x）=-

1

2

（x-2）（1＜x≤3）．
綜上所述，f（x）在[-1，3]的解析式為：f（x）=

1 2 x(-1≤x≤1) 1 2 (x-2)(1＜x≤3)

；
（3）由f（x）=-

1

2

，解得x=-1．
∵f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．故f（x）=-

1

2

的所有x=4n-1（n∈Z）．令0≤4n-1≤2011，則

1

4

≤n≤503，
又∵n∈Z，∴1≤n≤503（n∈Z），
∴在[0，2011]上共有503個(gè)x使f（x）=-

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2

．

點(diǎn)評(píng)：本題以分段函數(shù)為例，求函數(shù)的周期并求函數(shù)的解析式，著重考查了函數(shù)的奇偶性、周期性，屬于基礎(chǔ)題．