Question

5．設數列 {a_n} 的前n項和為S_n（n∈N^*），關于數列 {a_n} 有下列四個命題：
①若 {a_n}既是等差數列又是等比數列，則 a_n=a_n+1（n∈N*）；
②若  S_n=an²+bn（a，b∈R），則 {a_n}是等差數列；
③若 S_n=1-（-1）ⁿ，則 {a_n}是等比數列；
④若 S₁=1，S₂=2，且 S_n+1-3S_n+2S_n-1=0（n≥2），則數列 {a_n}是等比數列．
這些命題中，真命題的序號是①②③．

Answer 1

分析 ①設其前三項分別為：a-d，a，a+d（d為公差），則a²=（a-d）（a+d），解得d=0，即可判斷出結論；
②由數列 {a_n}為等差數列的充要條件即可判斷出正誤；
③由 S_n=1-（-1）ⁿ，可得a₁=2，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2×（-1）ⁿ⁺¹，即可判斷出結論．
④由 S_n+1-3S_n+2S_n-1=0（n≥2），利用遞推關系可得a_n+1=2a_n，又 S₁=1，S₂=2，可得a₂=a₁，即可判斷出正誤．

解答 解：①若 {a_n}既是等差數列又是等比數列，設其前三項分別為：a-d，a，a+d（d為公差），則a²=（a-d）（a+d），解得d=0，因此 a_n=a_n+1（n∈N^*），正確；
②由 S_n=an²+bn（a，b∈R）是數列 {a_n}為等差數列的充要條件，可得正確；
③若 S_n=1-（-1）ⁿ，則a₁=2，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2×（-1）ⁿ⁺¹，為等比數列，首項為2，公比為-1，因此正確；
④由 S_n+1-3S_n+2S_n-1=0（n≥2），可得S_n+1-S_n=2（S_n+S_n-1），即a_n+1=2a_n，又 S₁=1，S₂=2，∴a₁=1，a₂=1，可得a₂=a₁，數列 {a_n}不是等比數列．
這些命題中，真命題的序號是①②③．
故答案為：①②③．

點評 本題考查了數列的遞推關系、等比數列與等差數列的定義通項公式及其求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．