Question

19．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，如果f（x²+ax+a）≤f（-at²-t+1）對任意x∈[1，2]，任意t∈[1，2]恒成立，則實數(shù)a的最大值是（　�。�

• A． -1
• B． $-\frac{1}{3}$
• C． $-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
• D． -3

Answer 1

分析 根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同結合已知可得f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，進而可將f（x²+ax+a）≤f（-at²-t+1）對任意x∈[1，2]，任意t∈[1，2]恒成立，轉化為x²+ax+a≤-at²-t+1對任意x∈[1，2]，任意t∈[1，2]恒成立，再分類討論，即可得出結論．

解答 解：根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同且f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
故f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，
∵f（x²+ax+a）≤f（-at²-t+1）對任意x∈[1，2]，任意t∈[1，2]恒成立，
∴x²+ax+a≤-at²-t+1對任意x∈[1，2]，任意t∈[1，2]恒成立，
∴x²+ax≤-at²-t+1-a對任意x∈[1，2]，任意t∈[1，2]恒成立
a≥0時，y=x²+ax，x∈[1，2]，函數(shù)單調(diào)遞增，∴4+2a≤-at²-t+1-a任意t∈[1，2]恒成立
∴at²+t+3+3a≤0任意t∈[1，2]恒成立
∴a+1+3+3a≤0，∴a≤-1，不成立；
a≤-3，y=x²+ax，x∈[1，2]，∴1+a≤-at²-t+1-a任意t∈[1，2]恒成立
∴at²+t+2a≤0任意t∈[1，2]恒成立
∴a+1+2a≤0，∴a≤-$\frac{1}{3}$，∴a≤-3；
a＞-3，y=x²+ax，x∈[1，2]，4+2a≤-at²-t+1-a任意t∈[1，2]恒成立
∴at²+t+3+3a≤0任意t∈[1，2]恒成立
∴a+1+3+3a≤0，∴a≤-1，∴-3＜a≤-1；
綜上所述a≤-1．
故選A．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)恒成立問題，是函數(shù)圖象和性質的綜合應用，難度中檔．