Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=a，E是PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF⊥BC；
（Ⅱ）求點(diǎn)B到平面CEF的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明EF⊥BC．
（2）求出平面EFC的法向量，利用向量法能求出點(diǎn)B到平面CEF的距離．

解答： （1）證明：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知得F（

1

2

a，0，0），P（0，0，a），B（a，a，0），
E（

1

2

a，

1

2

a，

1

2

a），C（0，a，0），

EF

=（0，

1

2

a，

1

2

a），

BC

=（-a，0，0），
∴

EF

•

BC

=0，
∴EF⊥BC．
（2）解：

EC

=（-

1

2

a，

1

2

a，-

1

2

a），

EF

=（0，

1

2

a，

1

2

a），
設(shè)平面EFC的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • EF = 1 2 ay+ 1 2 az=0 n • EC =- 1 2 ax+ 1 2 ay- 1 2 az=0

，
取y=1，得

n

=（2，1，-1），
∴點(diǎn)B到平面CEF的距離d=

| n • BC |

| n |

=

|-2a|

6

=

6 a

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．