Question

如圖，點P在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的面對角線BC₁上運動，則下列四個結(jié)論：
①三棱錐A-D₁PC的體積不變；②A₁P∥平面ACD₁；③DP⊥BC₁；④平面PDB₁⊥平面ACD₁．其中正確的結(jié)論的是

 

．

Answer 1

考點：棱柱的結(jié)構(gòu)特征,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)空間中的線線、線面以及面面之間的平行與垂直關(guān)系，對每一個命題進(jìn)行分析、判斷，得出正確的結(jié)論．

解答： 解：對于①，由題意知AD₁∥BC₁，∴BC₁∥平面AD₁C，
∴BC₁上任意一點到平面AD₁C的距離均相等，
∴以P為頂點，平面AD₁C為底面的三棱錐A-D₁PC的體積不變，∴①正確；
對于②，連接A₁B，A₁C₁，A₁C₁∥AC，由①知：AD₁∥BC₁，
∴平面BA₁C₁∥平面ACD₁，由線面平行的定義得，∴②正確；
對于③，∵DC⊥平面BCB₁C₁，∴DC⊥BC₁，
若DP⊥BC₁，則BC₁⊥平面DCP，
BC₁⊥PC，則P為中點，與P為動點矛盾，∴③錯誤；
對于④，連接DB₁，由DB₁⊥AC且DB₁⊥AD₁，
得DB₁⊥面ACD₁，∴平面PDB₁⊥平面ACD₁，∴④正確．
綜上，正確的結(jié)論是①②④．
故答案為：①②④．

點評：本題考查了空間中的線線、線面以及面面之間的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)注意應(yīng)用等積法求三棱錐的體積、線面平行、垂直的判定等問題，是中檔題．