Question

11．如圖，在銳角三角形ABC中，AB=AC，以AB為直徑的圓O與邊BC，AC另外的交點(diǎn)分別為D，E，且DF⊥AC于F．
（Ⅰ）求證：DF是⊙O的切線；
（Ⅱ）若CD=3，$EA=\frac{7}{5}$，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)AD，OD．證明OD∥DF，通過OD是半徑，說明DF是⊙O的切線．
（Ⅱ）連DE，說明△DCF≌△DEF，以及切割線定理得：DF²=FE•FA，求解AB=AC．

解答 解：（Ⅰ）連結(jié)AD，OD．則AD⊥BC，又AB=AC，
∴D為BC的中點(diǎn)，而O為AB中點(diǎn)，∴OD∥AC
又DF⊥AC，∴OD∥DF，而OD是半徑，∴DF是⊙O的切線．（5分）
（Ⅱ）連DE，則∠CED=∠B=∠C，則△DCF≌△DEF，
∴CF=FE，設(shè)CF=FE=x，則DF²=9-x²，
由切割線定理得：DF²=FE•FA，
即$9-{x^2}=x（{x+\frac{7}{5}}）$，解得：${x_1}=\frac{9}{5}，{x_2}=-\frac{5}{2}$（舍），
∴AB=AC=5．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查切割線定理，直線與圓的位置關(guān)系，考查分析問題解決問題的能力．