Question

15．已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿(mǎn)足f（1）=1，且f′（x）＜1，則不等式f（2^x）＞2^x的解集為（　�。�

• A． （-∞，1）
• B． （-∞，0）
• C． （0，∞）
• D． （0，1）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-x，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出不等式f（x）＞x的解為x＜1，即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)g（x）=f（x）-x，
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=f′（x）-1，
∵f′（x）＜1，
∴g′（x）＜0，
即函數(shù)g（x）為減函數(shù)，
∵f（1）=1，
∴g（1）=f（1）-1=1-1=0，
則不等式g（x）＞0等價(jià)為g（x）＞g（1），
則不等式的解為x＜1，
即f（x）＞x的解為x＜1，
∵f（2^x）＞2^x，
∴2^x＜1，解得：x＜0，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．