13.設進入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為0.5,購買乙種商品的概率為0.6,且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨立,各顧客之間購買商品也是相互獨立的.
(I) 求進入商場的1位顧客購買甲,乙兩種商品中的一種的概率;
(II)求進入商場的1位顧客至少購買甲,乙兩種商品中的一種概率;
(III)用ξ表示進入商場的3位顧客中至少購買甲,乙兩種商品中的一種的人數(shù),求ξ的分布列.

分析 (Ⅰ)記A表示事件:進入商場的1位顧客購買甲種商品,B表示事件:進入商場的1位顧客購買乙種商品,C表示事件:進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種,D表示事件:進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種.C=A•$\overline{B}$+$\overline{A}$•B.由此能求出進入商場的1位顧客購買甲,乙兩種商品中的一種的概率.
(Ⅱ)$\overline{D}$=$\overline{A}$•$\overline{B}$,由此利用對立事件概率計算公式能求出進入商場的1位顧客至少購買甲,乙兩種商品中的一種概率P(D).
(Ⅲ)ξ~B(3,0.8),由此能求出ξ的分布列.

解答 (本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)記A表示事件:進入商場的1位顧客購買甲種商品,
B表示事件:進入商場的1位顧客購買乙種商品,C表示事件:進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種,
D表示事件:進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種.
C=A•$\overline{B}$+$\overline{A}$•B.
進入商場的1位顧客購買甲,乙兩種商品中的一種的概率:
P(C)=P(A•$\overline{B}$+$\overline{A}$•B)=P(A•$\overline{B}$)+P($\overline{A}$•B)=P(A)•P($\overline{B}$)+P($\overline{A}$)•P(B)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5…(4分)
(Ⅱ)$\overline{D}$=$\overline{A}$•$\overline{B}$,
P($\overline{D}$)=P($\overline{A}$•$\overline{B}$)=P($\overline{A}$)•P($\overline{B}$)=0.5×0.4=0.2,
進入商場的1位顧客至少購買甲,乙兩種商品中的一種概率P(D)=1-P($\overline{D}$)=0.8…(8分)
(Ⅲ)ξ~B(3,0.8),
P(ξ=0)=0.23=0.008,
P(ξ=1)=${C}_{3}^{1}$×0.8×0.22=0.096,
P(ξ=2)=${C}_{3}^{2}$×0.82×0.2=0.384,
P(ξ=3)=0.83=0.512.
ξ的分布列為

ξ0123
P0.0080.0960.3840.512
…(12分)

點評 本題考查概率的求法,考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意二項分布的性質的合理運用.

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