Question

16．若x，y∈R且滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ x+y-4≤0\\ x-y-2≤0\end{array}\right.$，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為4，目標(biāo)函數(shù)z=3x+y的最大值為10．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，求出交點坐標(biāo)，利用z的幾何意義，即可求出z的最大值．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（1，3），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-1}\end{array}\right.$，即C（1，-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即B（3，1），
則AC=3-（-1）=4，
則三角形的面積S=$\frac{1}{2}×4×（3-1）=\frac{1}{2}×4×2$=4
由z=3x+y得y=-3x+z，
平移直線y=-3x+z由圖象可知當(dāng)直線y=-3x+z經(jīng)過點B（3，1）時y=-3x+z的截距最大，此時z最大．
代入z=3x+y得z=9+1=10．
即目標(biāo)函數(shù)z=3x+y的最大值為10
故答案為：.4；10

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．